x-uni.com
x-uni.com
x-uni.com
Математика
Биология
Литература
Русский язык
География
Физика
Химия
История
Английский
Информатика
География
Информатика
Алгебра, Углубленный курс с решениями и указаниями, Золотарева Н.Д., Попов Ю.А., Сазонов В.В., 2011

Алгебра, Углубленный курс с решениями и указаниями, Золотарева Н.Д., Попов Ю.А., Сазонов В.В., 2011

Алгебра, Углубленный курс с решениями и указаниями, Золотарева Н.Д., Попов Ю.А., Сазонов В.В., 2011.

    Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач единого государственного экзамена преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и другие ВУЗы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

Рациональные и иррациональные числа.
Теоретический материал
Рациональным числом называется действительное число, представимое в виде несократимой дроби p/q, где р - целое число, q - натуральное число.

Иррациональным числом называется действительное число, непредставимое в виде несократимой дроби p/q.
Замечание 1. Любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби, а любое иррациональное число — в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Замечание 2. Сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Сумма, разность, произведение и частное двух иррациональных чисел может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Доказательство иррациональности числа, как правило, проводится от противного. Предполагается, что заданное число можно представить в виде несократимой дроби, после чего полученное равенство с помощью алгебраических преобразований приводится к уравнению в целых числах, не имеющему решений.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора 6
Предисловие 7
Часть I: Теория и задачи 9
1. Элементы теории чисел 9
1.1. Целые числа. Делимость и остатки 9
1.2. Уравнения в целых числах 11
1.3. Смешанные задачи на целые числа 14
1.4. Рациональные и иррациональные числа 17
1.5. Сравнение чисел 19
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции 23
2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражении с обратными тригонометрическими функциями 23
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями 27
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства 30
2.4. Смешанные задачи 33
3. Полезные преобразования и замены переменных 34
3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата 34
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах 39
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах 42
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах 46
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены 50
4. Нестандартные текстовые задачи 53
4.1. Недоопределённые задачи 53
4.2. Неравенства в текстовых задачах 56
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения 59
5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами 63
5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета 63
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на числовой оси 67
5.3. Смешанные задачи 73
6. Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций 75
6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность 75
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности 78
6.3. Функциональные уравнения и неравенства 83
6.4. Использование графических иллюстраций 89
7. Метод оценок 95
7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства 95
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства 98
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями 104
8. Задачи на доказательство 106
8.1. Тригонометрические задачи на доказательство 106
8.2. Метод математической индукции 109
8.3. Доказательство неравенств и тождеств 111
9. Использование особенностей условия задачи 114
9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной 114
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия 118
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия 123
9.4. Смешанные задачи 127
Часть II: Указания и решения 131
1. Элементы теории чисел 131

1.1. Целые числа. Делимость и остатки 131
1.2. Уравнения в целых числах 138
1.3. Смешанные задачи на целые числа 146
1.4. Рациональные и иррациональные числа 154
1.5. Сравнение чисел 159
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции 169
2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями 169
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями 180
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства 191
2.4. Смешанные задачи 202
3. Полезные преобразования и замены переменных 218
3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата 218
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах 236
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах 245
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах 259
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены 276
4. Нестандартные текстовые задачи 284
4.1. Недоопределённые задачи 284
4.2. Неравенства в текстовых задачах 293
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения 300
5. Использование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметрами 312
5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета 312
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена на числовой оси 322
5.3. Смешанные задачи 337
6. Использование различных свойств функций и графических иллюстраций 353
6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность 353
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности 360
6.3. Функциональные уравнения и неравенства 375
6.4. Использование графических иллюстраций 392
7. Метод оценок 413
7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства 413
7.2. - Тригонометрические уравнения и неравенства 422
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями 442
8. Задачи на доказательство 458
8.1. Тригонометрические задачи на доказательство 458
8.2. Метод математической индукции 468
8.3. Доказательство неравенств и тождеств 477
9. Использование особенностей условия задачи 491
9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной 491
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия 500
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия 511
9.4. Смешанные задачи 518
Ответы 527
Литература 536.

Предложения интернет-магазинов

Алгебра и начала математич. анализа. 10 класс. Дидактические материалы. Базовый и углубленный уровни

Автор(ы): Шабунин Михаил Иванович, Ткачева Мария Владимировна, Алимов Шавкат Арифджанович, Газарян Рубен Гергенович, Федорова Надежда Евгеньевна   Издательство: Просвещение, 2016 г.  Серия: Математика и информатика

Цена: 296 руб.   Купить

Дидактические материалы составлены к каждой теме курса алгебры и начал анализа и опираются на учебник Ш. А. Алимова и др. Книга содержит краткие теоретические сведения к параграфам, примеры задач с решениями, задания для самостоятельной работы. К каждой главе даны задачи для работы к экзаменам, контрольные работы и задания для интересующихся математикой. 7-е издание.


Сборник задач по математике с решениями. 8-11 классы

Автор(ы): Сканави Марк Иванович, Зайцев Владимир Валентинович, Егерев Виктор Константинович, Кордемский Борис Анастасьевич   Издательство: Мир и образование, 2017 г.

Цена: 282 руб.   Купить

В книге представлены задачи по всем разделам школьного курса математики, выбранные авторами из широко известного "Сборника задач" под редакцией М.И.Сканави. Задачи разбиты на две группы по уровню сложности и сопровождаются подробными решениями и указаниями. Пособие будет полезно учащимся при самостоятельной подготовке к зачетам, контрольным и проверочным работам, а также к выпускным экзаменам в средней школе, сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз.


Алгебра. 7 класс. Домашняя работа к задачнику А.Г. Мордковича и др.

Автор(ы): Попов Максим Александрович   Издательство: Спиши.ру, 2016 г.  Серия: Решебник

Цена: 60 руб.   Купить

В пособии решены и в большинстве случаев подробно разобраны задачи и упражнения из задачника "Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных организаций / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. - 19-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2014". Пособие адресовано родителям, которые смогут проконтролировать правильность решения, а в случае необходимости помочь детям в выполнении домашней работы по алгебре. 2-е издание, стереотипное.


Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник. ФГОС

Автор(ы): Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда, Шабунин Михаил Иванович   Издательство: Просвещение, 2017 г.  Серия: Математика и информатика

Цена: 626 руб.   Купить

Данный учебник является первой частью комплекта учебников "Алгебра и начала математического анализа" для 10 и 11 классов. В этих учебниках изложены, по принципу структурного вложения, фактически два курса, соответствующие стандартам образования: один на базовом, другой на углублённом уровне. Комплект обладает свойством преемственности со всеми действующими учебниками алгебры основной школы. Наилучшие преемственные связи установлены с комплектом учебников алгебры для 7-9 классов авторов Ю. М. Колягина, М. В. Ткачёвой, Н. Е. Фёдоровой, М. И. Шабунина. В учебнике содержится избыточная разноуровневая система задач и упражнений (многие задачи приведены с решениями и указаниями), позволяющая успешно подготовиться к ЕГЭ. Практическая, прикладная и мировоззренческая направленность курса обеспечивает понимание роли математики во всех сферах деятельности человека. Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации. 4-е издание.