x-uni.com
x-uni.com
x-uni.com
Математика
Биология
Литература
Русский язык
География
Физика
Химия
История
Английский
Информатика
География
Информатика
ВИДЕОКУРСЫ

Математика и ее приложения, Часть 1, Линейная алгебра и аналитическая геометрия., Математический анализ , Борисова О.Н., Яцкевич А.Б, 2004

Математика и ее приложения, Часть 1, Линейная алгебра и аналитическая геометрия., Математический анализ , Борисова О.Н., Яцкевич А.Б. 2004.

В данном учебном пособии излагаются основные теоретические сведения и приводятся решения задач контрольных работ по математике для студентов - заочников КИУЭС.

Пособие может служить путеводителем при работе с более полными и подробными курсами математики.

Примеры.
1.Решение систем линейных уравнений.
Имеется три основных способа решения систем линейных уравнений. Первым является метод Гаусса последовательного исключения переменных. Два других способа – метод обратной матрицы и правило Крамера.

2.Решить систему линейных уравнений тремя способами:
а) методом Гаусса последовательных исключений неизвестных;
б) по формуле с вычислением обратной матрицы ;
в) по формулам Крамера.

3.Начнем с метода Гаусса последовательных исключений неизвестных. Сначала нужно преобразовать систему уравнений так, чтобы переменная осталась только в одном уравнении системы, например, в первом. Затем уравнение, в которое входит, отбрасывают, и рассматривают систему из оставшихся уравнений, в котором число уравнений и число неизвестных уменьшилось. Эту редуцированную систему преобразуют так, чтобы переменная осталась только в одном уравнении. Затем уравнение, в которое входит, отбрасывают, и вновь рассматривают систему из меньшего числа уравнений. Преобразования с последовательным исключением неизвестных х, х, и т.д. продолжают до тех пор, пока к каждой неизвестной не будет применена процедура исключения. После этого значения х, х, х,… определяют сначала из последнего уравнения, затем из предпоследнего и т.д., вплоть до первого уравнения.

Итак, возьмем первое уравнение системы и с его помощью исключим переменную из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение перепишем без изменений, а второе и третье уравнения сложим с подходящими коэффициентами с первым уравнений системы. Сначала умножим первое уравнение системы на 10, второе на , а затем сложим полученные уравнения.

4.Мы привели систему уравнений к так называемому верхнетреугольному виду. Теперь методом обратного хода можно определить сначала значение переменной из последнего уравнения системы, затем значение переменной из второго уравнения, и, наконец, значение переменной из первого уравнения.

5.Решим теперь ту же систему уравнений матричным способом, с вычислением обратной матрицы.
Напомним основные понятия матричной алгебры. Матрицей размера называется таблица, в которой имеется строк и столбцов. Элемент матрицы , стоящий в i-й строке, j–м столбце, обозначается через . Матрицы и размера и можно перемножить, и получить в результате матрицу C=A B, C=(c), размера m X n по следующему правилу:

6.Определитель матрицы размера сводится к вычислению трех определителей матриц размера по следующему правилу: надо выделить произвольную строку (или столбец) матрицы, умножить каждый элемент этой строки (столбца) на знак этого элемента, и умножить на минор элемента, а затем все полученные произведения сложить. Это правило называется разложением определителя по строке (столбцу). Можно показать, что результат не зависит от выбора строки или столбца.

7.Если определитель матрицы системы линейных уравнений равен нулю (или число уравнений системы меньше числа неизвестных), то либо имеется бесконечно много решений, либо система противоречива, и решений нет вовсе. Разберем на примере, как можно описать все решения вырожденной системы уравнений, используя метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.

8.Мы привели систему к верхнетреугольному виду, однако для двух неизвестных (а именно, для и для) не хватило “своего” уравнения для преобразования исключения. В этом случае переменные, объявляются свободными (то есть их значения могут выбираться произвольным образом), а значения остальных переменных (они называются базисными) могут быть выражены через значения свободных переменных.

9.Обозначим через определитель матрицы. Пусть есть определитель матрицы, в которой вместо первого столбца стоит столбец. Пусть есть определитель матрицы, в которой вместо второго столбца стоит столбец. Наконец, пусть есть определитель матрицы, в которой вместо третьего столбца стоит столбец.

10.Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения. Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.

11.Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде.

Предложения интернет-магазинов

Рабочие программы. математика: алгебра и начала мат. анализа, геометрия. 10-11 классы. ФГОС

  Издательство: Дрофа, 2013 г.  Серия: Алгебра

Цена: 154 руб.   Купить

В сборнике представлены рабочие программы по предмету "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" базового уровня к УМК Г. К. Муравина, О. В. Муравиной по алгебре и началам математического анализа и УМК И. Ф. Шарыгина по геометрии, а так же программы для изучения предмета "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" на углубленном уровне к УМК Г. К. Муравина, О. В. Муравиной по алгебре и началам математического анализа и УМК Е. В. Потоскуева по геометрии. Учебники соответствуют Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования, одобрены РАО и РАН, имеют гриф "Рекомендовано" и включены в Федеральный перечень учебников. Составитель: Муравина Ольга Викторовна.


Математика в таблицах. 10-11 классы

  Издательство: АСТ, 2016 г.  Серия: Новая школьная программа

Цена: 54 руб.   Купить

В справочнике в виде тематических таблиц представлены все основные материалы школьной программы по математике с 5 по 11 класс. Разделы справочника соответствуют программе школьного курса: "Математика 5-6", "Алгебра 7-9", "Алгебра и начало анализа 10-11", "Геометрия 7-9", "Геометрия 10-11". Книга будет полезна для повторения и обобщения математических знаний при подготовке к урокам, контрольным и проверочным работам, зачётам и выпускным экзаменам в формате ЕГЭ.


ЕГЭ. Математика в таблицах. 10-11 классы

  Издательство: АСТ, 2016 г.  Серия: Подготовка к ЕГЭ

Цена: 54 руб.   Купить

В справочнике в виде тематических таблиц представлены все основные материалы школьной программы по математике с 5 по 11 класс. Разделы справочника соответствуют программе школьного курса: "Математика 5-6", "Алгебра 7-9", "Алгебра и начало анализа 10-11", "Геометрия 7-9", "Геометрия 10-11". Книга будет полезна для повторения и обобщения математических знаний при подготовке к урокам, контрольным и проверочным работам, зачётам и выпускным экзаменам в формате ЕГЭ.


Математика. Алгебра и начала матем. анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. Базовый уровень. ФГОС

Автор(ы): Мордкович Александр Григорьевич, Денищева Лариса Олеговна, Мишустина Татьяна Николаевна, Смирнова Ирина Михайловна, Корешкова Татьяна Александровна   Издательство: Мнемозина, 2015 г.  Серия: Математика

Цена: 417 руб.   Купить

Учебник адресован учащимся 10-го класса общеобразовательных учреждений. Особенностью учебника является наличие в нём полного курса предмета (алгебра, начала математического анализа, геометрия). Содержание учебника соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования. Рекомендовано Министерством образования и науки РФ. 12-е издание, стереотипное.