x-uni.com
x-uni.com
x-uni.com
Математика
Биология
Литература
Русский язык
География
Физика
Химия
История
Английский
Информатика
География
Информатика
ЕГЭ 2014, Математика, Диагностическая работа с ответами и решениями, Варианты 101-116, 24.09.2013

ЕГЭ 2014, Математика, Диагностическая работа с ответами и решениями, Варианты 101-116, 24.09.2013

ЕГЭ 2014, Математика, Диагностическая работа с ответами и решениями, Варианты 101-116, 24.09.2013.

Примеры заданий вариантов 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116.

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F .

Найдите площадь треугольника BEF , если известно, что R = 2 и CD =10 .

Вариант с решением.

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор - 3, -1, 2, 4, 6, 7, 9. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 6 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Решение.
а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 отрицательных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх отрицательных чисел. Значит, отрицательное число одно, и это число — наименьшее число в наборе, то есть - 3.

Наибольшее число в наборе 9 является суммой двух положительных задуманных чисел. Из положительных выписанных чисел только 2 и 7 дают в сумме 9. Значит, были задуманы числа - 3, 2 и 7.

б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k +1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль.

Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей. Поскольку на доске выписано ровно 6 нулей, среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано пять или меньше (ненулевых) чисел. Среди них есть положительные и отрицательные. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел.

Подумаем, сколько может быть одинаковых среди всевозможных сумм задуманных чисел одного знака. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы; три различных задуманных числа одного знака дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают; четыре различных задуманных числа одного знака дают 15 сумм, среди которых не может быть трёх одинаковых. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более четырёх.

Таким образом, если было задумано не более пяти различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более четырёх нулей.
Если были задуманы числа - 5 ; - 2; -1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно шесть нулей. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 6.

в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел - 3, 1, 2 и - 2, -1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: а) - 3, 2, 7; б) 6; в) нет.

Предложения интернет-магазинов

Математика. 8-11 класс. Международная олимпиада молодежи. Сборник задач с решениями

Автор(ы): Шагин Вадим Львович   Издательство: Вита-Пресс, 2015 г.

Цена: 238 руб.   Купить

Сборник содержит задачи, предлагавшиеся на MOM в 2014/15 учебном году. Все задачи даны с подробными решениями.


Математика. Подготовка к ЕГЭ: математический бой. Задания частей В и С

Автор(ы): Коннова Елена Генриевна, Иванов Сергей Олегович   Издательство: Легион, 2013 г.  Серия: Готовимся к ЕГЭ

Цена: 60 руб.   Купить

Предлагаемое пособие адресовано учащимся 10-11-х классов и учителям для успешной, интересной и творческой организации подготовки к ЕГЭ по математике на уроках и во внеурочные часы. Книга посвящена решению заданий части В и С1-С4 при помощи технологии математического боя - интеллектуального соревнования команд. В процессе подготовки к единому экзамену с помощью данной книги достигаются как минимум три цели - отработка индивидуальных умений обучающихся, организация эффективного повторения материала в классе или в группе школьников и формирование коллективных навыков решения задач. Издание включает варианты математических боев по алгебре и геометрии двух уровней сложности, правила математического боя, ответы и подробные указания к решениям четырех вариантов. Пособие является частью учебно-методического комплекса "Математика. Подготовка к ЕГЭ", включающего книги "Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013", "Математика. ЕГЭ-2013. Учебно-тренировочные тесты", "Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2013 (С1,С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы" и другие.


Математика. Подготовка к ЕГЭ. Производная: задания В9 и В15

Автор(ы): Коннова Елена Генриевна, Иванов Сергей Олегович   Издательство: Легион, 2014 г.  Серия: Готовимся к ЕГЭ

Цена: 61 руб.   Купить

Материал, представленный в этой книге, предназначен для формирования устойчивых навыков решения заданий В9 и В15 первой части ЕГЭ по математике. Подробно излагается исследование функций с применением производной. Также уделяется внимание первообразной и интегралу - темам, которые могут встретиться в экзаменационной работе. Пособие состоит из 2 параграфов (каждому заданию посвящён отдельный параграф), которые включают в себя разбор решений типовых задач, подобных приведённым в открытом банке заданий ЕГЭ, и варианты для самостоятельного решения. Данная книга составлена на основе материалов пособия "Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть 2: Алгебра и начала анализа". Для отработки навыков решения других заданий базового уровня сложности следует использовать указанное пособие, а также книги "Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть 1: Арифметика и алгебра" и "Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для "чайников". Часть 3: Геометрия". Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации.


ЕГЭ-2013. География. Типовые экзаменационные варианты. 10 вариантов

Автор(ы): Барабанов В. В., Дюкова С.Е., Амбарцумова Э. М.   Издательство: Национальное образование, 2012 г.  Серия: ЕГЭ. ФИПИ - школе

Цена: 107 руб.   Купить

Серия "ЕГЭ-2013. ФИПИ - школе" подготовлена разработчиками контрольных измерительных материалов. В сборнике представлены: · 10 обновленных типовых экзаменационных вариантов для подготовки к экзамену 2013 года; · инструкция по выполнению экзаменационной работы и типовые бланки ответов ЕГЭ; · аудиодиск с записью инструкций и текстов к разделу "Аудирование" ко всем вариантам; · ответы к заданиям экзаменационной работы; · критерии оценивания. Выполнение заданий типовых экзаменационных вариантов предоставляет учащимся возможность самостоятельно подготовиться к итоговой аттестации, а также объективно оценить уровень своей подготовки. Учителя могут использовать типовые экзаменационные варианты для организации контроля результатов обучения школьников и интенсивной подготовки учащихся к ЕГЭ. Под редакцией Вадима Владимировича Барабанова.