x-uni.com
x-uni.com
x-uni.com
Математика
Биология
Литература
Русский язык
География
Физика
Химия
История
Английский
Информатика
География
Информатика
ВИДЕОКУРСЫ
Алгебраическая топология, Хатчер А., 2011

Алгебраическая топология, Хатчер А., 2011

Алгебраическая топология, Хатчер А., 2011.

  Книга представляет собой введение в алгебраическую топологию (до спектральных последовательностей), включающее в себя как гомотопическую топологию, так и теорию гомологии и когомологий (в том числе двойственность Пуанкаре). Ориентированное на геометрические аспекты предмета изложение является, тем не менее, строгим и подробным. В книге имеется большое количество примеров и упражнений; в дополнениях, занимающих почти половину книги, затрагиваются различные более продвинутые сюжеты (когомологий с локальными коэффициентами, теорема Брауна о представимости, когомологические операции, спектры и пр.).
Для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников.

Фундаментальная группа и накрытия.
Алгебраическую топологию можно в первом приближении определить как исследование методов создания алгебраических образов топологических пространств. Чаще всего эти алгебраические образы — группы, но встречаются и более сложные структуры, типа колец, модулей и алгебр. Механизмы, которые создают эти образы (можно было бы сказать — «фонари» алгебраической топологии), известны под названием функторов; они отличаются тем, что они создают образы не только пространств, но и отображений. Таким образом, непрерывные отображения между пространствами превращаются в гомоморфизмы между их алгебраическими образами, поэтому топологически связанные пространства имеют алгебраически связанные образы.

С удобно сконструированными фонарями можно надеяться создать достаточно детальные образы, по которым точно восстанавливаются формы всех пространств, или по крайней мере обширных и важных классов пространств. В этом одна из главных целей алгебраической топологии, и она до удивительной степени хорошо достигнута. Конечно, фонари, необходимые для этого, — весьма сложные механизмы. Но эти механизмы тоже имеют свойственную им красоту.

В этой главе вводится один из самых простых и самых важных функторов алгебраической топологии — фундаментальная группа, которая создаёт алгебраический образ пространства при помощи петель в этом пространстве, т.е. путей в пространстве, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же точке.

Оглавление
Предисловие
Глава 0 Основные геометрические понятия
Гомотопии и гомотопический тип
Клеточные комплексы
Операции над пространствами
Два признака гомотопической эквивалентности
Свойство продолжения гомотопии
Глава 1 фундаментальная группа и накрытия
§1.1. Основные конструкции
Пути и гомотопии
Фундаментальная группа окружности
Индуцированные гомоморфизмы
§1.2. Теорема ван Кампена
Свободные произведения групп
Теорема ван Кампена
Приложения к клеточным комплексам
§1.3. Накрытия
Определения и примеры
Свойства поднятия
Классификация накрытий
Преобразования накрытий и действия групп
Дополнение
§1.А. Графы и свободные группы
§1.В. Пространства K(G, 1) и графы групп
Глава 2 Гомологии
§2.1. Симплициальные и сингулярные гомологии
Д-комплексы
Симплициальные гомологии
Сингулярные гомологии
Гомотопическая инвариантность
Точные последовательности и вырезание
Эквивалентность симплициальных и сингулярных гомологий
§2.2. Вычисления и приложения
Степень
Клеточные гомологии
Последовательности Майера—Вьеториса
Гомологии с коэффициентами
§2.3. Формальная точка зрения
Аксиомы гомологий
Категории и функторы
Дополнение
§2.А. Гомологии и фундаментальная группа
§2.В. Классические приложения
§2.С. Симплициальная аппроксимация
Глава 3 Когомологии
§3.1. Группы когомологий
Теорема об универсальных коэффициентах
Когомологии пространств
§3.2. Умножение в когомологиях
Кольцо когомологий
Формула Кюннета
Пространства с полиномиальными когомологиями
§3.3. Двойственность Пуанкаре
Ориентация и гомологии
Теорема двойственности
Связь с υ-произведением
Другие виды двойственности
Дополнение
§3.А. Универсальные коэффициенты для гомологий
§3.В. Общая формула Кюннета
§3.С. Н-пространства и алгебры Хопфа
§3.D. Когомологии SO(n)
§3.Е. Гомоморфизмы Бокштейна
§3.F. Пределы и Ext
§3.G. Трансфер
§3.Н. Локальные коэффициенты
Глава 4 Теория гомотопий
§4.1. Гомотопические группы
Определения и основные конструкции
Теорема Уайтхеда
Клеточная аппроксимация
CW-аппроксимация
Элементарные методы вычислений
Вырезание для гомотопических групп
Теорема Гуревича
Локально тривиальные расслоения
Стабильные гомотопические группы
§4.3. Связь с когомологиями
Гомотопическое построение когомологий
Расслоения в смысле Гуревича
Башни Постникова
Теория препятствий
Дополнение
§4.А. Отмеченные точки и гомотопии
§4.В. Инвариант Хопфа
§4.С. Минимальные клеточные структуры
§4.D. Когомологии локально тривиальных расслоений
§4.Е. Теорема Брауна о представимости
§4.F. Спектры и теории гомологий
§4.G. Конструкции склейки
§4.Н. Двойственность Экмана—Хилтона
§4.I. Стабильные расщепления пространств
§4.J. Пространство петель для надстройки
§4.К. Теорема Дольда—Тома
§4.L. Квадраты и степени Стинрода
Приложение
Топология клеточных комплексов
Произведения CW-комплексов
Евклидовы окрестностные ретракты
Пространства, доминируемые CW-комплексами
Литература
Предметный указатель.