x-uni.com
x-uni.com
x-uni.com
Математика
Биология
Литература
Русский язык
География
Физика
Химия
История
Английский
Информатика
География
Информатика
Геометрия и биллиарды, Табачников С., 2011

Геометрия и биллиарды, Табачников С., 2011

Геометрия и биллиарды, Табачников С., 2011.
 
  Теория математических биллиардов описывает движение материальной точки в области с упругим отражением от границы или, что-то же самое, поведение лучей света в области с зеркальной границей. В книге отражены связи теории биллиардов с дифференциальной геометрией, классической механикой и геометрической оптикой. Кроме того, подробно изучаются вариационные принципы биллиардной динамики, симплектическая геометрия лучей света и интегральная геометрия, существование и несуществование каустик, оптические свойства кривых и поверхностей второго порядка, вполне интегрируемые биллиарды, периодические биллиардные траектории, биллиарды в многоугольниках, механизмы возникновения хаоса, а также менее известные внешние биллиарды.

Предпосылки: механика и оптика.
Математический биллиард состоит из области, скажем лежащей в плоскости (биллиардный стол), и точечной массы (биллиардный шар), которая свободно движется внутри области. Это означает, что точка движется вдоль прямой с постоянной скоростью до момента соударения с границей. Отражение от границы считаем упругим; оно подчиняется известному закону: угол падения равен углу отражения. После отражения масса продолжает свое движение с новой скоростью до нового соударения с границей и т. д., см. рис. 1.

Эквивалентное описание биллиардного отражения состоит в том, что в точке удара скорость приближающегося биллиардного шара раскладывается на нормальную и тангенциальную компоненты. При отражении нормальная составляющая мгновенно меняет знак, тогда как тангенциальная составляющая остается той же. В частности, величина скорости точки не меняется, и всегда можно считать, что точка движется с единичной скоростью.

Это описание отражения биллиарда применяется к областям в многомерном пространстве и, в общем случае, к другим геометриям, а не только к евклидовой. Конечно, предполагается, что отражение происходит в гладкой точке границы. Например, если биллиардный шар ударяется в угол биллиардного стола, отражение не определено и движение шара обрывается в этой точке.

Оглавление
Предисловие
Глава 1. Предпосылки: механика и оптика
1.1. Отступление. Вычисление п с помощью биллиарда
1.2. Отступление. Конфигурационные пространства
1.3. Отступление. Принцип Гюйгенса, финслерова метрика, финслеровы биллиарды
1.4. Отступление. Брахистохрона
Глава 2. Биллиард в круге и квадрате
2.1. Отступление. Распределение первых цифр и закон Бенфорда
2.2. Отступление. Последовательности Штурма
Глава 3. Биллиардное отображение и интегральная геометрия
3.1. Отступление. Четвертая проблема Гильберта
3.2. Отступление. Симплектическая редукция
Глава 4. Биллиарды внутри конических сечений и квадратичных поверхностей
4.1. Отступление. Поризм Понселе
4.2. Отступление. Полная интегрируемость, теорема Арнольда-Лиувилля
Глава 5. Существование и несуществование каустик
5.1. Отступление. Эволюты и эвольвенты
5.2. Отступление. Математическая теория радуги
5.3. Отступление. Теоремы о четырех вершинах и Штурма-Гурвица
5.4. Отступление. Проективная плоскость
Глава 6. Периодические траектории
6.1. Отступление. Геометрическая теорема Пуанкаре
6.2. Отступление. Периодические орбиты Биркгофа и теория Обри-Мазера
6.3. Отступление. Теория Морса
Глава 7. Биллиарды в многоугольниках
7.1. Отступление. Теорема Пуанкаре о возвращении
7.2. Отступление. Замкнутые геодезические на поверхностях многогранника, кривизна и теорема Гаусса-Бонне
Глава 8. Хаотические биллиарды
Глава 9. Двойственные биллиарды
Дополнение
Литература
Дополнительная литература
Предметный указатель.

Купить.Дата публикации: 02.02.2014 08:40 UTC

Предложения интернет-магазинов

Начальная школа. Отличная геометрия

Автор(ы): Лонг Линетт   Издательство: Попурри, 2014 г.

Цена: 217 руб.   Купить

Книга поможет детям младшего школьного возраста, их родителям и даже преподавателям понять и поверить, что геометрия - очень интересная, полезная и совсем не трудная наука!


Геометрия. 10 класс. Методические рекомендации

Автор(ы): Бутузов Валентин Федорович, Прасолов Виктор Васильевич   Издательство: Просвещение, 2014 г.  Серия: Математика и информатика

Цена: 285 руб.   Купить

Методические рекомендации ориентированы на учебник В. Ф. Бутузова, В. В. Прасолова "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы" под редакцией В. А. Садовничего (базовый и углублённый уровни). Книга содержит комментарии к теоретическому материалу и задачам, решения наиболее сложных и важных задач, основные требования к учащимся, а также разные варианты тематического планирования для базового и углублённого уровней.


Геометрия. 10 класс. Домашняя работа к учебнику Л. С. Атанасяна и др.

Автор(ы): Рылов Арсений Сергеевич, Тронин Александр Валерьевич   Издательство: Спиши.ру, 2016 г.  Серия: Решебник

Цена: 66 руб.   Купить

В пособии решены и в большинстве случаев подробно разобраны задачи и упражнения из учебника "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы: учеб. общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - М.: Просвещение, 2014" Пособие адресовано родителям, которые смогут про контролировать правильность решения, а в случае необходимости помочь детям выполнении домашней работы по геометрии. 2-е издание, стереотипное.