x-uni.com
x-uni.com
x-uni.com
Математика
Биология
Литература
Русский язык
География
Физика
Химия
История
Английский
Информатика
География
Информатика
Элементы высшей математики, Виноградов И.М., 1999

Элементы высшей математики, Виноградов И.М., 1999

Элементы высшей математики, Виноградов И.М., 1999.

   Книга отличается наглядностью и простотой изложения основ аналитической геометрии, дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных и теории чисел.
Содержатся примеры и упражнения, позволяющие глубоко усвоить основные понятия и методы рассматриваемых областей математики.
Для студентов ВУЗов, а также преподавателей втузов и техникумов. Может быть полезно учителям средней школы и школьникам старших классов.

В России исторически сложилось так, что представление об образовании включает в себя органичное единство школы как системы приобретения знаний, фундаментальной науки как показателя уровня подготовки специалистов и гуманитарной культуры как основы духовного единства народов, населяющих нашу страну.

Формулируя задачи образования, академик А. Н. Крылов говорил: «Школа не может дать вполне законченного знания; главная задача школы — дать общее развитие, дать необходимые навыки, одним словом... главная задача школы — научить учиться, и для того, кто в школе научится учиться, практическая деятельность всю его жизнь будет наилучшей школой».

Отметим, что особенность отечественной школы состоит в сочетании четкости рассуждений с глубиной содержания и простотой, доступностью, конкретностью изложения материала, которые всегда предпочитаются формальным конструкциям. Практическое воплощение данных идей подразумевает наличие высококвалифицированных и творчески мыслящих преподавателей.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Часть первая
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава 1. Векторы в углы

§ 1. Ось 5
§ 2. Вектор 5
§ 3. Направленные углы 6
§ 4. Проекция вектора с оси на ось 8
§ 5. Векторные цепи 10
§ 6. Цепи углов 13
§ 7. Проекции вектора на две взаимно перпендикулярные оси 14
§ 8. Угол между двумя векторами. Условия параллельности и перпендикулярности 15
§ 9. Упражнения и контрольные вопросы 17
Глава 2. Координаты
§ 1. Метод координат 23
§ 2. Основные задачи, решаемые методом координат 25
§ 3. Упражнения 30
Глава 3. Функции
§ 1. Переменные и постоянные 34
§ 2. Понятие о функциональной зависимости 35
§ 3. Классификация математических функций 39
§ 4. Обзор и графическое изображение простейших функций одного аргумента 43
§ 5. Обратные функции 50
§ 6. Понятие об уравнении линии 55
§ 7. Упражнения 56
Глава 4. Прямая
§ 1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку 60
§ 2. Общее уравнение прямой 61
§ 3. Частные случаи 62
§ 4. Переход к уравнению с угловым коэффициентом 63
§ 5. Построение прямой 64
§ 6. Определение угла между двумя прямыми 66
§ 7. Условие совпадения прямых 69
§ 8. Пересечение прямых 70
§ 9. Расстояние от точки до прямой 71
§ 10. Другой подход к выводу уравнения прямой 73
§ 11. Прямая, проходящая через две точки 74
§ 12. Уравнение прямой в отрезках на осях 75
§ 13. Задачи на прямую линию 76
Глава 5. Простевшие кривые. Преобразование координат
§ 1. Окружность 85
§ 2. Эллипс. Построение посредством нити. Зависимость между полуосями и полуфокусным расстоянием 86
§ 3. Построение эллипса по точкам 88
§ 4. Уравнение эллипса 90
§ 5. Связь эллипса с окружностью 92
§ 6. Директрисы эллипса 93
§ 7. Гипербола. Построение посредством нити 94
§ 8. Построение гиперболы по точкам 96
§ 9. Уравнение гиперболы 97
§ 10. Асимптоты. Геометрическое значение b 98
§ 11. Директрисы гиперболы 100
§ 12. Парабола. Построение по точкам 101
§ 13. Уравнение параболы 103
§ 14. Преобразование координат 105
§ 15. Пример на упрощение уравнения кривой путем параллельного переноса осей 106
§ 16. Поворот осей 108
§ 17. Общий случай 109
§ 18. Полярные координаты ПО
§ 19. Спираль Архимеда 111
§ 20. Логарифмическая спираль 112
§ 21. Примеры на составление полярных уравнений кривых 112
§ 22. Выражение прямоугольных координат через полярные ИЗ
§ 23. Уравнение лемнискаты 114
§ 24. Параметрическое задание линий 115
§ 25. Построение графика 116
§ 26. Циклоида 117
§ 27. Упражнения 118
Глава 6. Векторы, поверхности и линии в пространстве
§ 1. Оси, векторы, углы 125
§ 2. Проекции 125
§ 3. Проекции на три взаимно перпендикулярные оси. Длина вектора через проекции 127
§ 4. Простейшие зависимости, содержащие величину вектора, проекции и направляющие косинусы 128
§ 5. Проекция вектора на оси. Косинус угла между двумя векторами. Скалярное произведение векторов 129
§ 6. Координаты 133
§ 7. Выражение проекций вектора через координаты конца и начала 134
§ 8. Выражение длины вектора через координаты концов. Расстояние между двумя точками 135
§ 9. Деление отрезка в данном отношении 135
§ 10. График уравнения с двумя переменными 137
§ 11. Поверхность как след, образуемый перемещением некоторой деформируемой плоской кривой 138
§ 12. Цилиндрические поверхности 139
§ 13. Обратная задача. Уравнение шаровой поверхности 140
§ 14. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 141
§ 15. Общее уравнение плоскости 141
§ 16. Частные случаи 142
§ 17. Выяснение расположения плоскости относительно осей 144
§ 18. Угол между плоскостями. Условие параллельности. Условие перпендикулярности 145
§ 19. Условие совпадения плоскостей 147
§ 20. Расстояние от точки до плоскости 148
§ 21. Прямая как пересечение двух плоскостей 149
§ 22. Прямая, проходящая через данную точку 150
§ 23. Прямая, проходящая через две точки 151
§ 24. Переход, от системы уравнений прямой в общем виде к системе в виде пропорций 152
§ 25. Угол между прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности 153
§ 26. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности 156
§ 27. Простейшие поверхности. Эллипсоид 157
§ 28. Другие простейшие поверхности 160
§ 29. Кривая в пространстве как пересечение двух поверхностей 161
§ 30. Параметрические уравнения 161
§ 31. Винтовая линия 161
§ 32. Параметрические уравнения в механике 163
§ 33. Переход от параметрического представления к общему и обратно 163
§ 34. Преобразование координат 164
§ 35. Упражнения 166
Часть вторая
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 1. Пределы

§ 1. Бесконечно малые 173
§ 2. Понятие предела переменной величины 175
§ 3. Понятие бесконечно большой 177
§ 4. Свойства бесконечно малых 180
§ 5. Основные свойства пределов 182
§ 6. Предел непрерывной функции 183
§ 7. Геометрическое истолкование непрерывности 188
§ 8. Свойство непрерывной функции 189
§ 9. Предел функции, зависящей от нескольких переменных 190
§ 10. Особые случаи разыскания предела 193
§ 11. Замечательный тригонометрический предел 197
§ 12. Признак существования предела 199
§ 13, Сходимость бесконечных рядов 200
§ 14. Простейшие признаки сходимости 203
§ 15. Основание натуральных логарифмов 207
§ 16. Порядок бесконечно малых 211
§ 17. Упражнения 214
Глава 2. Производные и дифференциалы
§ 1. Производная как угловой коэффициент касательной .218
§ 2. Производная как предел 219
§ 3. Пояснение общей теории на примере. Уравнения касательной и нормали 220
§ 4. Механическое значение производной 222
§ 5. Производные трех простейших функций 225
§ 6. Производная постоянного и суммы. Вынесение постоянного множителя за знак производной 227
§ 7. Производная сложной функции 229
§ 8. Разыскание производных путем логарифмирования. Производные функции х при любом п и функции а 231
§ 9. Производные произведения и частного. Производные tgx и ctgx 234
§ 10. Производные обратных тригонометрических функций 235
§ 11. Сводка основных формул 236
§ 12. Дифференциал 237
§ 13. Основные формулы для дифференциалов 239
§ 14. Высшие производные 241
§ 15. Высшие дифференциалы 244
§ 16. Дифференцирование неявных функций 245
§ 17. Дифференцирование функций, заданных параметрическим способом 247
§ 18. Преобразование дифференциалов к новой переменной 252
§ 19. Упражнения 254
Глава 3. Приложения дифференциального исчисления
§ 1. Непрерывность первой производной 262
§ 2. Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум 263
§ 3. Приложение к построению графиков 265
§ 4. Наибольшее и наименьшее значения функции 270
§ 5. Прикладные задачи на наибольшее и наименьшее значения 273
§ 6. Направление выпуклости, точки перегиба 277
§ 7. Приложение к построению графиков 278
§ 8. Построение графиков разрывных функций 281
§ 9. Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака первой производной 282
§ 10. Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака второй и высших производных 283
§ 11. Асимптоты 285
§ 12. Дифференциал дуги 287
§ 13. Направляющие косинусы касательной 288
§ 14. Радиус кривизны, центр кривизны 289
§ 15. Дифференциал дуги и направляющие косинусы касательной для кривой в пространстве 292
§ 16. Упражнения 293
Глава 4. Дифференцирование функций многих переменных
§ 1. Функции многих переменных. Область определения. Непрерывность 302
§ 2. Частные производные и полный дифференциал 306
§ 3. Частные производные и полный дифференциал сложной функции многих переменных 318
§ 4. Дифференцирование неявных функций 321
§ 5. Частные производные и полные дифференциалы высшего порядка 325
§ 6. Упражнения 329
Часть третья
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Глава 1. Теория делимости

§ 1. Основные понятия и теоремы 335
§ 2. Общий наибольший делитель 337
§ 3. Общее наименьшее кратное 340
§ 4. Простые числа 341
§ 5. Единственность разложения на простые сомножители 343
§ б. Непрерывные дроби и их связь с алгоритмом Евклида 346
Вопросы к главе 1 350
Численные примеры к главе 1 352
Глава 2. Важнейшие функции в теории чисел
§ 1. Функции М, {х} 353
§ 2. Мультипликативные функции 354
§ 3. Число делителей и сумма делителей 356
§ 4. Функция Мёбиуса 357
§ 5. Функция Эйлера .358
Вопросы к главе 2 360
Численные примеры к г лаве 2 368
Глава 3. Сравнения
§ 1. Основные понятия 369
§ 2. Свойства сравнений, подобные свойствам равенств 370
§ 3. Дальнейшие свойства сравнений 372
§ 4. Полная система вычетов 373
§ 5. Приведенная система вычетов 374
§ 6. Теоремы Эйлера и Ферма 375
Вопросы к главе 3 376
Численные примеры к главе 3 381
Глава 4. Сравнения с одним неизвестным
§ 1. Основные понятия 382
§ 2. Сравнения первой степени 382
§ 3. Система сравнений первой степени 385
§ 4. Сравнения любой степени по простому модулю 386
§ 5. Сравнения любой степени по составному модулю 388
Вопросы к главе 4 391
Численные примеры к главе 4 395
Глава 5. Сравнения второй степени
§ 1. Общие теоремы 396
§ 2. Символ Лежандра 397
§ 3. Символ Якоби 403
§ 4. Случай составного модуля 406
Вопросы к главе 5 408
Численные примеры к главе 5 413
Глава 6. Первообразные корни и индексы
§ 1. Общие теоремы 414
§ 2. Первообразные корни по модулям^* и Зр 415
§ 3. Разыскание первообразных корней по модулям ра и 2р 417
§ 4. Индексы по модулям i* и If- 418
§ 5. Следствия предыдущей теории 421
§ 6. Индексы по модулю 2* 423
§ 7. Индексы по любому составному модулю 426
Вопросы к главе б 430
Численные примеры к главе 6 432
Глава 7. Характеры
§ 1. Определения 434
§ 2. Важнейшие свойства характеров 434
Вопросы к главе 7 439
Численные примеры к главе 7 442
Решения вопросов 443
Решения к главе 1 443
Решения к главе 2 446
Решения к главе 3 460
Решения к главе 4 470
Решения к главе 5 475
Решения к главе б 484
Решения к главе 7 487
Ответы к численным примерам
Ответы к главе 1 493
Ответы к главе 2 493
Ответы к главе 3 493
Ответы к главе 4 493
Ответы к главе 5 -494
Ответы к главе 6 494
Ответы к главе 7 495
Таблицы индексов 496
Таблица простых чисел <4070 и их наименьших первообразных корней 503

Предложения интернет-магазинов

Краткий справочник по математике для абитуриентов и студентов. Формулы, алгоритмы, примеры

Автор(ы): Судавная Ольга Илларьевна   Издательство: Питер, 2013 г.  Серия: Карманный справочник

Цена: 113 руб.   Купить

Судавная Ольга Илларьевна - преподаватель высшей математики на кафедре высшей математики СПбНИУИТМО (Национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, бывший ЛИТМО), имеет педагогический стаж более 40 лет, является автором целого ряда учебных пособий по математике. Краткий справочник содержит основные сведения как по элементарной, так и по высшей математике. Его особенностью является наличие не только определений и формул, но и иллюстрирующих их примеров. Справочник предназначен для выпускников средних учебных заведений, слушателей подготовительных курсов, студентов вузов, а также для всех тех, кому необходимо оперативно восстановить в памяти какие-либо математические понятия.


Сборник формул по математике

Автор(ы): Цикунов А.Е.   Издательство: Питер, 2013 г.  Серия: Карманный справочник

Цена: 64 руб.   Купить

Сборник содержит формулы элементарной высшей математики - арифметики и алгебры, геометрии и тригонометрии, векторной и линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления, рядов, теории вероятности и др. Он адресован школьникам и абитуриентам, студентам высших и средних специальных учебных заведений, преподавателям и инженерам. 3-е издание.


Многоязычный словарь современной фразеологии

  Издательство: Флинта, 2012 г.

Цена: 511 руб.   Купить

Данный многоязычный словарь европейских фразеологизмов уникален в своем роде: на фоне итальянского и русского языков демонстрируются сходства и различия пословиц и поговорок французского, английского, испанского, немецкого и латинского языков. Для специалистов-филологов и студентов, а также для всех, кто интересуется европейской фразеологией. Составители: Виноградов В., Гречушникова Д., Зелинский В., Кучера Л. и др.


Математика: справочник для студентов ВУЗов, техникумов, колледжей

Автор(ы): Абанина Татьяна Ивановна   Издательство: Феникс, 2014 г.  Серия: Справочники

Цена: 250 руб.   Купить

Справочник содержит теоретические сведения, рекомендации для решения задач и образцы решений типовых примеров по важнейшим темам высшей математики: линейной алгебре, аналитической геометрии, дифференциальному исчислению функций одной и нескольких переменных и другим. Для студентов высших учебных заведений, техникумов и колледжей различных специальностей.