x-uni.com
регистрация / вход
сейчас на линии 37 чел.
x-uni.com
x-uni.com
 
Математика
Биология
Литература
Русский язык
ВИДЕО
Физика
Химия
История
Английский
 
ВИДЕО
 
 
регистрация / вход
сейчас на линии 37 чел.
Элементарная геометрия - в 2-х томах - том 1 - Планиметрия - Понарин Я.П.

Элементарная геометрия - в 2-х томах - том 1 - Планиметрия - Понарин Я.П.

Название: Элементарная геометрия - в 2-х томах - том 1 - Планиметрия. 2004.

Автор: Понарин Я.П.

     Данное пособие призвано возродить интерес к элементарным методам решения геометрических задач. В нем приведены яркие геометрические сведения, не вошедшие в современный школьный учебник. Например, формула Эйлера, окружность девяти точек, теорема Птолемея, геометрические неравенства и многое другое.
Книга адресована всем, кто желает расширить и углубить знания по элементарной геометрии, - от школьников средних классов до учителей математики и студентов педагогических ВУЗов.

     Геометрию считают трудным предметом. А трудность ее в том, что по сравнению с алгеброй она мало алгоритмизирована. Почти каждую содержательную задачу можно решить несколькими способами, используя различные методы. Поэтому геометрия содержит в себе огромный потенциал для развития гибкости ума, пластичности мышления и конструктивных способностей учащихся, для воспитания у них чувства прекрасного.
В ходе реформы школьного математического образования, повлекшей за собой перестройку учебных планов и программ на математических факультетах педагогических институтов, допущены существенные просчеты и перегибы. Со страниц школьных учебных пособий по геометрии исчезли многие замечательные геометрические факты, своего рода геометрические «жемчужины», использовавшиеся при доказательствах теорем и решении задач. Новые же методы -векторный, координатный, метод преобразований - не заняли должного места в преподавании геометрии и им все меньше уделяется внимания. В этом, на мой взгляд, заключается одна из основных причин значительного понижения уровня теоретической и практической подготовки по геометрии выпускников средних школ.

Оглавление
Предисловие 8
Часть I. Планиметрия
§1. Измерение углов, ассоциированных с окружностью 13
1.1. Угол с вершиной внутри окружности (13). 1.2. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности (13). 1.3. Угол между секущей и касательной (14).
§2. Пропорциональные отрезки 16
2.1. Свойство ряда равных отношений (16). 2.2. Пропорциональные отрезки на сторонах угла (17). 2.3. Пропорциональные отрезки на параллельных прямых (18). 2.4. Свойство биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника (18). 2.5. Секущие к окружности (19). 2.6. Среднее геометрическое (19). 2.7. Золотое сечение отрезка (21).
§3. Основные метрические соотношения в треугольнике 25
3.1. Теорема синусов (25). 3.2. Формулы проекций и их следствия (26). 3.3. Некоторые формулы площади треугольника (28). 3.4. Зависимость между косинусами углов треугольника и радиусами его вписанной и описанной окружностей (29). 3.5. Длина биссектрисы треугольника (30).
§4. Четыре замечательные точки треугольника 34
4.1. Центроид треугольника (34). 4.2. Центр вписанной в треугольник окружности (37). 4.3. Ортоцентр треугольника (38). 4.4. Связь между четырьмя замечательными точками треугольника (40).
§5. Вневписанные окружности треугольника 45
5.1. Существование вневписанных окружностей (45). 5.2. Отрезки касательных из вершин треугольника к его вневписанным окружностям (46). 5.3. Зависимость между радиусами вписанной, вневписанных и описанной окружностей треугольника (47).
§6. Окружность девяти точек треугольника 49
6.1. Существование окружности девяти точек (49). 6.2. Теорема Фейербаха (50).
§7. Вписанные и описанные четырехугольники 53
7.1. Критерии вписанного четырехугольника (53). 7.2. Критерии описанного четырехугольника (54). 7.3. Невыпуклый четырехугольник, ассоциированный с описанным четырехугольником (56).
§8. Теорема Симсона и теорема Птолемея 61
8.1. Теорема Симсона (61). 8.2. Теорема Птолемея (62).
§9. Теорема Чевы 68
9.1. Теорема Чевы (68). 9.2. Тригонометрическая (угловая) форма теоремы Чевы (69). 9.3. Изотомическое и изогональное соответствия (70).
§10. Классические теоремы о коллинеарности трех точек 75
10.1. Теорема Менелая (75). 10.2. Теорема Гаусса (76). 10.3. Теорема Дезарга (77). 10.4. Теорема Паскаля для треугольника (78). 10.5. Теорема Паскаля для вписанного шестиугольника (79).
§11. Метрические соотношения в четырехугольнике 82
11.1. Центроид четырехугольника (82). 11.2. Длины средних линий и расстояние между серединами диагоналей четырехугольника (83). 11.3. Зависимость между длинами сторон и диагоналей четырехугольника (85). 11.4. Теорема косинусов для четырехугольника (86). 11.5. Соотношение Бретшнайдера (87). 11.6. Следствия из соотношения Бретшнайдера (88).
§12. Площадь четырехугольника 91
12.1. Формулы площади четырехугольника общего вида (91). 12.2. Следствия из общих формул площади четырехугольника (92).
§13. Геометрические неравенства 97
13.1. Использование неравенств между сторонами и углами треугольника (97). 13.2. Неравенства как следствия тождественных равенств (99). 13.3. Использование ограниченности функций синуса и косинуса (101). 13.4. Использование неравенств для скалярного произведения векторов (102). 13.5. Применение алгебраических неравенств для средних величин двух положительных чисел (103). 13.6. Получение неравенств из известных тождеств и неравенств (105). 13.7. Использование чертежа, дополнительных построений (106).
§14. Геометрические экстремумы 110
14.1. Экстремальные свойства суммы и произведения положительных чисел (111). 14.2. Экстремальные значения синуса и косинуса (112). 14.3. Об эквивалентности задач на экстремумы (113). 14.4. Применение геометрических преобразований (113). 14.5. Экстремальные значения квадратного трехчлена (114).
§15. Экстремальные свойства правильных многоугольников 118
15.1. Изопериметрическая задача (118). 15.2. Общие свойства изопериметрических фигур максимальной площади (119). 15.3. Две
подготовительные задачи (119). 15.4. Изопериметрическая теорема для многоугольников (121). 15.5. Экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, вписанных в данную окружность (123). 15.6. Экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, описанных около одной окружности (124).
§16. Радикальная ось и радикальный центр окружностей 126
16.1. Степень точки относительно окружности (126). 16.2. Радикальная ось двух окружностей (126). 16.3. Характеристические свойства точек радикальной оси окружностей (128). 16.4. Радикальный центр трех окружностей (129).
§17. Пучки окружностей 130
17.1. Определение пучка окружностей. Виды пучков (130).
17.2. Критерии пучка окружностей. Задание пучка (132). 17.3. Ортогональные пучки окружностей (133). 17.4. Задание окружности данного пучка (134).
§18. Полярное соответствие 136
18.1. Поляра точки относительно окружности (136). 18.2. Свойство взаимности поляр (138). 18.3. Автополярный треугольник. (138). 18.4. Полярное соответствие относительно окружности. Принцип двойственности (139).
Задачи общего содержания 143
Часть II. Преобразования плоскости
Введение. Отображения и преобразования множеств 157
Глава I. Движения плоскости
§1. Общие свойства движений 160
1.1. Определения движения и равных фигур (160). 1.2. Инварианты движений (160). 1.3. Конструктивное задание движения плоскости (162). 1.4. Движения первого и второго рода (163).
§2. Центральная симметрия 164
2.1. Определение и свойства центральной симметрии плоскости (164). 2.2. Решение задач (165).
§3. Осевая симметрия 169
3.1. Определение и свойства осевой симметрии плоскости (169).
3.2. Решение задач с помощью осевой симметрии (171).
§4. Перенос 175
4.1. Определение и свойства переноса (175). 4.2. Решение задач с помощью переноса (176).
§5. Поворот 179
5.1. Определение и свойства поворота (179). 5.2. Угол между лучом и его образом при повороте (180). 5.3. Два способа построения центра поворота (181).
§6. Решение задач с помощью поворота 181
§7. Композиции движений 187
7.1. Композиция центральных симметрии и переносов (187).
7.2. Композиция двух осевых симметрий с параллельными осями (188). 7.3. Представление переноса композицией осевых симметрий (189). 7.4. Композиция двух осевых симметрий с непараллельными осями (189). 7.5. Представление поворота композицией осевых симметрий (190). 7.6. Композиция двух поворотов (190). 7.7. Композиция поворота и переноса (191). 7.8. Переносная симметрия (191). 7.9. Композиция переноса и осевой симметрии (192).
7.10. Движения плоскости как композиции осевых симметрий (192).
§8. Решение задач с помощью композиций движений 193
§9. Координатные формулы движений плоскости 197
9.1. Формулы переноса и центральной симметрии (197). 9.2. Формулы поворота (198). 9.3. Формулы осевой симметрии (198). 9.4. Формулы движений I и II рода (199). 9.5. Решение задач с использованием координатных формул движений (200).
§ 10. Комбинирование метода преобразований и векторного метода решения задач 202
10.1. Движение вектора (202). 10.2. Решение задач с помощью поворота вектора (203).
§11. Применение движений к построению графиков функций 206 11.1. Перенос графиков (206). 11.2. Применение осевой симметрии (207).
Глава II. Подобия и аффинные преобразования
§12. Гомотетия 211
12.1. Определение гомотетии и его следствия (211). 12.2. Образ прямой при гомотетии (212). 12.3. Образы луча, полуплоскости и угла при гомотетии (213). 12.4. Задание гомотетии. Построение образа точки (213).
§13. Гомотетичность окружностей 214
13.1. Гомотетичные фигуры (214). 13.2. Гомотетичность двух окружностей (215).
§14. Решение задач с помощью гомотетии 216
§15. Композиция гомотетий 223
15.1. Композиция двух гомотетий (223). 15.2. Теорема Паппа (224). 15.3. Взаимное расположение центров гомотетий трех окружностей (225). 15.4. Теорема Менелая (226).
§16. Решение задач с помощью композиций гомотетий 227
§17. Преобразование подобия 230
17.1. Определение подобия и подобных фигур (230). 17.2. Представление подобия композицией гомотетии и движения. Инварианты подобий (231).
§18. Задание подобия плоскости 232
18.1. Теорема о задании подобия плоскости (232). 18.2. Два рода подобий. Построение образа точки при подобии (232).
§19. Классификация подобий плоскости 233
19.1. Классификация подобий первого рода (233). 19.2. Классификация подобий второго рода (235).
§20. Угол, центр и двойные прямые подобия 237
20.1. Угол подобия (237). 20.2. Центр подобия (237). 20.3. Два подобия с общим центром (238). 20.4. Двойные прямые подобия (238).
§21. Решение задач методом подобия 239
§22. Параллельное проектирование плоскости на плоскость 249
§23. Аффинные отображения 251
23.1. Определение и задание аффинного преобразования плоскости (251). 23.2. Частные виды аффинных преобразований плоскости (252). 23.3. Понятие об аффинной геометрии (253).
§24. Решение задач с помощью аффинных преобразований 254
Глава III. Инверсия
§25. Инверсия плоскости относительно окружности 259
25.1. Определение инверсии. Построение образа точки при инверсии (259). 25.2. Координатные формулы инверсии (260). 25.3. Образы прямых и окружностей при инверсии (260).
§26. Инвариантные окружности инверсии 262
26.1. Ортогональные окружности (262). 26.2. Инверсия как симметрия относительно окружности (262).
§27. Свойства углов и расстояний 264
27.1. Сохранение величин углов при инверсии (264). 27.2. Изменение расстояний при инверсии (264).
§28. Инверсия и гомотетия 265
§29. Применение инверсии к решению задач на построение и доказательство 266
Указания, ответы, решения 271
Литература 312
Предметный указатель 315

Скачать бесплатно на сайте fileskachat.com

Предложения интернет-магазинов

Элементарная грамматика хорватского языка

Автор(ы): Багдасаров Артур Рафаэлович   Издательство: Астрель, 2012 г.  Серия: Реальный самоучитель

Цена: 84 руб.   Купить

"Элементарная грамматика хорватского языка" создана для самостоятельного изучения хорватского языка в доступной и интересной форме. Книга содержит необходимые грамматические правила, наглядные примеры и полезные примечания с пояснениями. Это издание является универсальным грамматическим справочником и рекомендуется к использованию в качестве самостоятельного учебного пособия по базовому курсу хорватского языка. Издание предназначено для широкого круга читателей.


Геометрия. 7-11 классы. Определения, свойства, методические решения задач - в таблицах

Автор(ы): Нелин Евгений Петрович   Издательство: Илекса, 2013 г.  Серия: Математика

Цена: 200 руб.   Купить

В пособии логически упорядочены и систематизированы основные и дополнительные сведения из школьного курса геометрии (планиметрия, стереометрия, координаты и векторы). Учебное пособие может быть использовано как учащимися при повторении школьного курса геометрии, так и учителями на уроке при работе по любому учебнику геометрии для общеобразовательных учебных заведений. 2-е издание, исправленное.


Новый большой немецко-русский словарь. В 3-х томах. Том 2: G-Q. Около 500 000 лексических единиц

Автор(ы): Добровольский Дмитрий Олегович   Издательство: АСТ, 2010 г.  Серия: Biblio

Цена: 1965 руб.   Купить

Новый большой немецко-русский словарь в трех томах содержит около 500 тысяч лексических единиц и является самым полным из существующих немецко-русских словарей. Словарь создан большим коллективом авторов на базе Большого немецко-русского словаря под руководством О.И.Москальской. Словарь предназначается для специалистов в области немецкого языка, переводчиков, лиц, работающих с немецким языком и читающих немецкоязычную литературу в подлиннике, а также для иностранных специалистов, занимающихся русским языком.


Гарантированный английский за 3,5 + ...дня для учивших - и забывших: В 2-х томах. Том 2

Автор(ы): Драгункин Александр Николаевич   Издательство: Андра, 2009 г.

Цена: 138 руб.   Купить

Данная книга является продолжением бестселлера "Английский за 3,5 дня" и представляет собой полноценное и эффективное учебное пособие, созданное на базе абсолютно новой грамматики английского языка. Предназначено для самого широкого круга лиц, изучающих английский.

ПЕДСОВЕТ / ФОРУМ

Новости образования

Новости науки

флаг италииX-UNI рекомендует репетитора итальянского языка: yuliyavenezia (Скайп).

Репетитор по Скайпу без посредников

Неограниченная аудитория, свободный график. Начните свой бизнес здесь!